三角函数概念和诱导公式（含答案）

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王老师

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共22页 2022-12-11 免费

三角函数概念和诱导公式

【考点梳理】

1．任意角和弧度制、三角函数的概念

(1)终边相同的角

所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，构成的角的集合是

{

β|β=k⋅360°+ α，k∈Z

}

或

{

β|β=2kπ +α，k∈Z

}

．

（2）弧长与扇形面积公式

扇形的弧长公式：

l=|α|⋅r

，扇形的面积公式：

S=1

2lr=1

2|α|⋅r2

．

（3）任意角的三角函数

借助单位圆定义：任意角

的终边与单位圆交于点

P(x，y)

时，则

sin α=y

，

cos α=x

，

tan α=y

x(x≠0)

．

借助终边上点的坐标：，若取点

P(x，y)

是角

终边上异于顶点的任一点，设点

到原点

的距离为

，则

sin α=y

，

cos α=x

，

tan α=y

x(x≠0)

三角函数在各个象限符号记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦．

2．同角三角函数的基本关系及诱导公式

(1)平方关系：

sin2α+cos2α=1

．

(2)商数关系：

sin α

cos α=tan α(α≠π

2+kπ )

；

（3）三角函数的诱导公式

公式一二三四五六

角

2kπ +α(k∈Z)

π+α

−α

π−α

2−α

2+α

正弦

sin α

−sin α

sin α

cos α

余弦

cos α

−cos α

cos α

−cos α

sin α

−sin α

正切

tan α

−tan α

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

【方法技巧与总结】

1．利用

sin2α+cos2α=1

可以实现角

的正弦、余弦的互化，利用

sin α

cos α=tan α

可以实现角

的弦切互化．

2．“

sin α+cos α，sin αcos α，sin α−cos α

”方程思想知一求二．

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【典型题型讲解】

考点一：弧长公式，扇形面积公式

【典例例题】

例1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．

莱洛三角形的画法：先画等边三角形 ABC，再分别以点 A、B、C为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便得

到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．

【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点

A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积

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